■プロフィール

谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
今まで書いたもの一覧



連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

■カテゴリー別
■新しいコメント
■リンク
■RSSリンクの表示
■カウンター

スポンサーサイト
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。


スポンサー広告 | --:--:--
素数のレース・2--勝負は永遠,でもリード期間に差が?
ずいぶん間が空いてしまい,失礼しました.前回は,素数たちがときに真剣なレースをすることがあるということ,4で割った余りで組分けした1組と3組のレースは,3組がリードしていることの方がずっと多いけれど,1組も負けずと逆転することが何度もあることをお話しました.その続きです.


まずレースの行く末ですが,次のことが証明されています.

定理:このレースは勝負がつかない.抜きつ抜かれつの攻防がどこまでも続く.(!)

これはかなり面白く不思議な定理であるとともに,ひとまずこの物語の結びでもあるかな,と思わせるものです.3組が優勢だったのはたまたまレースの始めそうだっただけ,両組のスピードは長い目で見れば同じだと.でも,それにしては3組のリード期間が多すぎる気もします.もうちょっと考えてみましょう.

素数たちのレース,実は他にもたくさんあります.前回は4で割った余りで組分けを考えました.では3で割った余りで組分けしたらどうか,と考えることができます.今度は(3を除けば)余りが1か2です.
3で割った余りが1になる素数→1組
3で割った余りが2になる素数→2組
という組分けで,レースの様子をちょっと見てみましょう.(今度はきっと3が審判です.)

~以下1002003004005006007008009001000
1組の素数(個)11212837455059677480
2組の素数(個)13243340495865717987
2組のリード2353486457

またもや,一方の組のちょっとしたリードが見えますね.しかし実は,このレースも先と同様,逆転がいつまでも繰り返されることが証明されています.では初めて1組が逆転するのは?


それは...
608981813029 (!!)
なんと,6千億を超えたところです.これは20世紀も後半,1976年にコンピューターを駆使してやっとのことで見つかりました.もうこれは,たまたまでは片付けるに片付けきれない,なんらかの説明が可能なら知りたい,と考えたくなるレベルでしょう.

素数はランダムにちらばっているように見えて,そこから法則を見い出したり証明したりするのはなかなか難しいと長年考えられていました.でも200年前ごろから,ゼータ関数とよばれるものと,その仲間であるL関数(エル関数)に素数たちの様子が映し出されていることが次第に分かってきました.ゼータ関数は
という和で定義される関数です.(ギリシャ文字 ζ は,ゼータと読みます.)無限個の和であるものの,定義自体はそれほど複雑ではありません.でも,高校3年(理系)で習う無限等比級数の公式を使うと,これが
という無限積に変形できます.すべての素数がちょうど1回ずつ現れるこの積の表示が,素数とゼータ関数の関係のもとになります.上記の定理も,このゼータ関数の仲間であるL関数
を使って証明されます.(それぞれの因子にある1,-1はその素数が4で割った余りが1か3かに応じて決まっています.そして,素数2のときは0になります.)

次回(きっと最終回)は,素数のレースのことがゼータ関数とL関数に反映されるありさまについて,もう少し詳しくお話したいと思います.


(追記1)面白いけど少し長いことが多い,という感想を何人かの方から寄せていただきました.一方,一度に書こうとするから更新が延び延びになりやすい,と遅ればせながら僕の方でも気づきました.これからは,少しずつマメに更新しようと思います.この話も,2部構成の予定でしたが,3部に変更してお届けします.

(追記2)無限等比級数の公式を使うと,素数pについて,s>0のとき
となることが分かります.そして,この式を使うと,ゼータ関数の無限積表示が証明できます.興味のある方はこれらの証明を考えてみてください.(ゼータ関数の定義には正確にはs>1という条件が必要ですが,これはあまり気にしなくても大丈夫です.)

スポンサーサイト
コラム | 00:16:51 | トラックバック(0) | コメント(0)

FC2Ad

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。