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谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
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連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

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正17角形の作図
数学セミナー2015-1月刊誌『数学セミナー』9月号の特集は,「私の選ぶとっておきの数式」です.今回,この特集に寄稿する縁があり,正17角形の作図という題で記事を書きました.

『数学セミナー』 2016年9月号の目次

実は,正17角形は定規とコンパスで作図できます.正3角形と正5角形が定規とコンパスで作図できることは紀元前から知られていたのですが,正7角形や正11角形など,5より大きな素数個の頂点をもつ正多角形については,長らく作図方法が見つかりませんでした.このため,正7角形より先は作図できないかも知れないと思われていました.

●   ●

しかし1796年,ガウスによって,これが覆されました.このことについては,以前のブログバークレーの数学研究所や,連載コラム『数学者的思考回路』の第1回でも触れたことがありました.ガウスが見出したのは,


という具体的な公式です.この右辺は,整数から始めて,加減乗除と平方根の繰り返しによって表示されています.一般に,与えられた長さの加減乗除と平方根は定規とコンパスで作図できるので,この式は正17角形が作図可能であることを表しています.

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実は,ガウスのこの公式にはたくさんの親類がいます.それは例えば


のような式たちです.今回はこのような式を導出する方法について書きました.よければぜひお読みください.

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なお,ガウスは1796年3月30日に上の公式を発見したことになっています.生まれは1777年4月30日なので,発見したのは18歳のときだということになりそうですが,多くの文献で『19歳のときの発見』と説明されています.数学セミナーの記事では「ガウスが18歳のときに発見した式」としましたが,このことについてもし何かご存知の方は,情報をお寄せくだればありがたいです.


ガウスが発見した時の年齢について,ウィキペディアの

 日本語版:正17角形
 英語版:Heptadecagon
 ドイツ語版:Siebzehneck

を見ると,日本語版と英語版は19歳となっていて,ドイツ語版は18歳となっているようです.
本などの紹介 | 21:18:26 | トラックバック(0) | コメント(0)
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