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谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
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連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

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時速4キロと時速6キロの平均は?
(いきなりこんな始まり方で申し訳ありませんが)問題です.時速4キロと時速6キロの平均は時速何キロでしょう?
と言っても,5キロ!...ではもう話が終わってしまいますから,答えは5キロではありません.もう少しきちんと,問題にしてみましょう.

問題:太郎くんが山にキノコ狩りに行きました.行きの登りは時速4キロで,帰りの下りは時速6キロで歩いたとすると,行き帰りの平均時速は何キロでしょうか?


不思議に思われるかと思いますが,答えは5キロではありません.答えを先に言うと,時速4.8キロになります.興味のある方は以下の説明を読む前に是非しばらく考えてみてください.決して難しい数学は使いません.













考えてもらえたでしょうか?では説明します.

分かりやすくするために,山までの道のりが,(片道)12キロだったとしましょう.かかった時間を計算すると:
kinokogari.gif

    行きは時速4キロだから,かかった時間は3時間.
    帰りは時速6キロだから,かかった時間は2時間.
すると,合計5時間.この時間で往復24キロの道のりを歩いたわけです.ではこの時速は‥24を5で割って4.8,だから答えは時速4.8キロ!以上です.

意外ですね.説明を聞いてもまだ不思議に思われる方もいらっしゃるでしょうし,やっぱり5キロじゃないのは納得できない!という方もおられるかもしれません.ところでこの,「時速5キロ」という答え,本当に間違っているのでしょうか?そんなことを僕なりに考えているうちに,次のような問題に行き当たりました.

問題:特にあてもなく散歩に出かけた太郎くん,初めの1時間は時速6キロで歩き,ちょっと疲れた次の1時間は時速4キロで歩きました.この間の平均時速は何キロでしょう?

これは2時間で10キロ歩いているから,平均では時速5キロになります.んん?

sanpo2.gif

5キロですね.どう考えても時速5キロです.

ということは,時速6キロと時速4キロの平均を時速5キロ,と答えても実は間違いではなかったわけです.答えがどうなるかは本当は問題の立て方にもよるということです.(だからこの文の始めで,時速5キロではないと言ったのはウソだったことになります.すみません!!)

さっきの4.8に戻れば,5と違う答えに『おもしろい!』と思う人もいれば,『なんか納得がいかない』と思う人もおられるでしょう.この5と異なる平均には,調和平均という名前がついています.でもいちばん大事なのは,調和平均という言葉を覚えて「その4.8って調和平均だよ」と言えるようになることではなく,何種類かの平均があることに思いをめぐらせ,その仕組みを自分なりにいろいろ考えてみることにあると思います.

この調和平均は,電流の抵抗の問題から弦楽器の作り方まで,実生活の多くの場面で使われています.一方で,ただ平均を考えられるだけでなく,平均が何種類かあること・またそれらを区別して理解できるようになること,それらは役に立つ立たないを別にして,ナカナカすばらしい人の脳のハタラキだと僕は思います.


(追記)
4.8と5であまり違いがないこともひょっとすると分かりにくい原因になるかもしれません.ちょっと問題を極端にして,時速1キロと時速9キロの平均を考えてみると(皆さんも計算してみてください),一方の平均は時速1.8キロ,他方は時速5キロになって,大きな差になります.


(さらに考えたい人のために)
今回出てきた2つの平均,調和平均の4.8と,相加平均の5では,調和平均の方が値が小さくなっています.ほかの場合にも,調和平均と相加平均の大小関係がどうなっているか考えてみてください.



コラム | 16:32:21 | トラックバック(0) | コメント(3)
コメント
前者6kmと4kmで歩いた距離が等しい。
後者は6kmと4kmで歩いた時間が等しい。
よって後者では6kmで歩けた距離の割合が前者より多く、平均速度が上がったのでは?
2013-05-30 木 04:47:34 | URL | 問題について [編集]
コメントをどうもありがとうございます.おっしゃる通りです.
正の数の平均について,

調和平均≦相加平均

という関係は,そのように見ることができます.
2013-05-30 木 09:10:08 | URL | 谷口隆 [編集]
Re: 時速4キロと時速6キロの平均について
> これは、取り組みやすい問題だったのでまず初めに取り組みました。
>
> 要は、平均値と中央値は異なるということなのですよね?

そういう言い方もできますね.
「平均」と言っても状況によっていろいろ
ありうるということを書いております.

今後もよろしくお願いします.
2013-08-27 火 08:39:27 | URL | 谷口隆 [編集]
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