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谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
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連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

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7進法の世界では?
なぜ1/2は3進法で0.1111.... となるの?という質問をいただきました.今日は,先日の『割り切れる分数・割り切れない分数(前編後編)』のオマケの話で,このことを話したいと思います.3進法でもいいのだけど,7進法ぐらいの方がオモシロイので,7進法で1/2を考えてみましょう.

まずはウォームアップの問題です.1週間をちょうど2等分するとどうなるでしょうか?


答えは「3日間と12時間」ずつですね.1週間=7日だから,まず3日ずつに分けて余りが1日.そして1日=24時間だから,2等分して12時間,という計算です.ここで時間単位(週・日・時間・分・秒)のシステムを考えてみると,1週=7日,1日=24時間,1時間=60分,1分=60秒となっています.慣れているから何とも思いませんが,全然知らない人が初めて聞いたら,かなり複雑な単位系に思えるかも知れませんね.これは7進法・24進法・60進法の混合なわけです.

7進法だけでできた世界を想像してみましょう.その世界は時間単位もすべて7進法で統一されています.1週=7日だけでなく,1日は7時間だし,1時間は7分だし,1分だって7秒なのです.なんだか不思議な感じですが,ここは「1時間=7分」の違和感も想像上の世界のことと楽しんでください.

さて,この7進法の世界で1週間を2等分しようとするとどうなるでしょうか??



まず3日ずつに分けて残りが1日.そして,この世界では1日は7時間なのでした.ぴったり2等分はできませんね.3時間ずつ取って余りが1時間です.ではこの1時間を2等分‥いや,1時間は7分なので割り切れません.3分ずつ取って余り1分です.秒まで行っても3秒ずつと余り1秒で,この先もきりがありません.ここまでをまとめて,

1週間を2で割ると,3日3時間3分3秒で余りが1秒

となりました.

時間を例に取りましたが,7進法では,1を2等分しようとすると「3ずつ取って1余る」が永遠に繰り返されることがお分かりいただけると思います.これは,1/2を小数で書くと 0.333333.....と割り切れずにどこまでも続くことを表しています.
1/2 in 7-adic
うーん,イコールで結ぶとやはりちょっと不思議ですね.

他の場合はどうでしょうか.例えば
(1) 3進法で1/2がなぜ 0.1111.... となるか?
(2) 逆に10進法で1/3=0.3333.... とはどういうことか?また1/2=0.5とは?
(3) 7進法で,1/3,1/4,1/5,1/6 を小数にするとどうなるか?
などなど.ぜひお考えください.

コラム | 16:05:57 | トラックバック(0) | コメント(0)
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