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谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
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連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

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円周率の求めかた
前回,『円周率(パイ)の近似として3.1416を考えると,誤差は50万分の1程度』とお話しましたが,このことについてちょっと考えてみましょう.そもそも円周率ってどうやって求めたらいいでしょうか?円周と直径の長さの比が円周率---だから円を用意し,直径と円周の長さを注意深く測ればが精度よく求められるはず---

かというと,実は話はそう単純ではありません.例えば上の50万分の1ってどれぐらい?というと,50メートルに対する0.1ミリという割合です.この両者の長さを想像してみてください.50メートル程の長さのものを誤差0.1ミリ以内で測るというのは,ほとんど不可能といってよい程難しい作業だとお分かりいただけると思います.しかも,精度を一桁上げるためには,10倍細かく測らなければなりません.そして例えば15桁というようなことになると,これは「太陽の直径を髪の毛の太さの誤差未満で測る」,あるいは「1メートルを陽子の直径の誤差未満で測る」といったレベルで,もう何をどうやってもできっこありません.

では,=3.14159265358979323846264338... とずっと先まで計算されている円周率は,いったいどうやって求めたのでしょう??

●   ●

この問題,算数・数学好きの小中学生の自由研究にとてもよいのでは----と思われるのですが,残念なことに(実に残念なことに!)ちょっとおススメできません.この問題は結構手ごわく,高校ぐらいの数学を使わないと難しいのです.高校数学を使うなら例えば次のような方法があります:数学IIIでこんな式が出てきます.
この右辺を図形の面積と見て,曲線を折れ線で近似すると,の近似値を計算できます.手計算では大変ですが,パソコンを使って計算してみると(プログラムは簡単!できる人はぜひやってみよう) --- 0≦x≦1を100等分すると,3.141575で,小数点以下4桁まで一致します.1億等分すれば 3.1415926535897932217...で,16桁目まで一致しました.ということで,高校数学+パソコンの計算力で,太陽と髪の毛の比を超えるぐらいまでできました.

しかしこれでも,何千桁,何万桁と求めるのは難しそうです.

●   ●

ではもっと先まではどうやって計算するのでしょうか?その一つにこんな公式を使う方法があります.
何だかとんでもない式ですねぇ(数学者だってそう思います).これはインドの神秘的数学者ラマヌジャン (Ramanujan, 1887-1920) によって予言された式で,ちゃんと証明されたのは何と1985年のこと.およそ簡単とは言いがたい式ですが,右辺の収束が非常に速いことが特長です.はじめの5項の和で既に40桁合い,126項で一致は1000桁を突破!します.

現在はこれを改良・発展させた式
がよく使われています.去年8月には近藤茂さんという方が,アメリカの大学生アレキサンダー・イーさんと協力してこの公式を使って円周率を5兆桁まで計算し,2兆7千億桁だったこれまでの世界記録を更新しました.近藤さんはなんと会社にお勤めの傍ら,"趣味"として自作のパソコンを使ってこの記録を達成されたそうで,この近藤さんのエネルギーには敬意を表したいと思います.現在は10兆桁に向かって計算が進行中だとか.

近藤さんのホームページ:PI WORLD of JA0HXV
朝日新聞電子版の近藤さんの記事


(やや高度な補足)Ramanujanの公式の第n項を
とおくと,隣接項の比は
となります.n>2ならはじめの4項の積は1未満なので
です.これより,項を一つ増やすたびに,精度が約8桁上がることが分かります.また,anまでの部分和でを近似すれば,誤差は(少なくとも)99-4n未満となることも分かります.同じことを改良された方の公式で考えると,項を一つ増やすたびに精度は約14桁上がると分かります.

積分を使った近似で『1億等分すると16桁まで一致する』と書きました.ただこの場合,実際に何桁まで合っているかをこのように理論的に見積もるためには,また方法を考えなければなりません.
コラム | 08:55:07 | トラックバック(1) | コメント(0)
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2011-10-20 Thu 15:34:22 | 日本のお金持ち妻研究

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