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谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
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連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

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直角三角形の内接円
三角形の内側から,3辺に同時に接するような円を内接円といいます.
naisetuen

さて,この内接円の半径 r を求める方法にはどのようなものがあるでしょうか?

●   ●

ひとつには,次のように三角形の面積を使う方法があります.辺の長さをa=BC, b=CA, c=AB,そして面積を S としましょう.
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さて,内接円の中心Iと各頂点を結んで△ABCを3つに分け,面積をそれぞれ計算します.
naisetuen
BCと内接円の接点をHとすると,BCとIHは直交します.よって△IBCは,BCを底辺とみたとき高さが内接円の半径 r になるので,面積は (1/2)ar になります.残り二つの三角形についても同様で,面積は (1/2)br と (1/2)cr です.この合計が三角形の面積 S になるのだから,
つまり,面積Sと三辺の長さ a,b,c が分かっていれば,内接円の半径は次の式で求められます.

特にもし△ABCが∠Cが90°の直角三角形なら、S=(1/2)abなので、
と,a,b,cを使って表すことができました.
●   ●

ところで直角三角形の場合は,内接円の半径を計算する別の方法があります.∠Cが90°とし,円の接点を次のようにL,M,Nとおきます.
naisetuen
すると,
   (ア)AN=AM, BN=BL
   (イ)四角形ILCMは正方形
であることが分かります.(理由はお考えください.ヒント:(ア)は,『円外の1点から円に引いた2本の接線の長さは等しい』から分かります.)よって,
これを r の式に直せば
となりました.(面積はタテ×ヨコという長さの2次式ですが,直角の場合はこのように1次式の範囲の中だけでも r を計算できたわけです.)
●   ●

ということで,直角三角形の場合は内接円の半径の公式が(I),(II)の2つできました.ということは,この二つの式をイコールでつなぐと,何か a,b,c のみたす関係式が出てくることになります.さて,それはいったい何でしょう.a+b+c=a+b+c のような「自明な」恒等式でしょうか,それとも‥‥??

コラム | 03:48:45 | トラックバック(0) | コメント(0)
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