びっくり数学島

xy平面上で，２点


を通る直線の方程式は次のようになります．


これについて考えてみましょう．x₁≠x₂とします．


上の式は，まず傾きを計算し，そしてP₁を通ることから求めたもの．それは自然な導き方だけれど，P₁とP₂を対等に扱っておらず，式の上でも対称性が崩れている点が気にかかる．対称な表示はないのだろうか？右辺は，y₁とy₂の１次式だから，それらで分けて整理すると，


お，対称的な式になったぞ！？


P₁とP₂を通っていることを確かめてみよう．x=x₁とする．すると，第一項は約分できてy₁になり，一方の第二項は，消えて0になる．だからy=y₁+0=y₁だ．P₁(x₁,y₁)を通っている．そして，この仕組みはx=x₂のときも同じだ．だから，ちゃんとP₁とP₂を通っていることがわかった．

変形した最後の式は，実は代数的な意味がとてもはっきりしている．ポイントは、


が

x=x₁のとき1になり，x=x₂のとき0になる

となることにある．もちろん，もうひとつの項


も同様で，こちらは

x=x₁のとき0になり，x=x₂のとき1になる

という性質を持っている．だからこれらを組み合わせて，


とすれば，x=x₁のときy=y₁になり，x=x₂のときy=y₂になるわけだ．


話を発展させて，


を通る２次関数の式を求めてみましょう．３点のx座標はすべて異なっているとします．



A, B, Cには関数が入ります．どんな風にしたいかというと，たとえばAなら

x=x₁のとき1になり，x=x₂, x₃のとき0になる

という関数にしたいわけです．ここから先は「続きを読む」に書きます．Aはどんな関数か，まず少し考えてみてください．

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まず，『x=x₂,x₃のとき0になる』ことに注目してみましょう．


とすればここはうまくいきますね．ただ，x=x₁のときは、(x₁-x₂)(x₁-x₃)で、1ではありません．どうしたらいいでしょうか？？

そう、

と割ってしまえばいいのです．


で，BとCも考え方はまったく同じです．最終的に


が求める関数となります．


x座標の異なる４点


を通る３次関数の式ならどうか．『同じ』ですね．今度は


のような関数を４個、考えればよいでしょう．一見複雑な式だけれど，どういう目的に沿って考えた式か意図が明瞭で，その意味では単純な式と言ってもいいのではないでしょうか．一般化すると、x座標の異なるn点を通るn-1次の関数を求めることになって，その答えの式は，ラグランジュ（Lagrandge）の補間多項式と呼ばれています．

今まで一次函数や二次函数などをこんな風に表したことはなかったです。新たな知識が増えました！

ありがとうございます．こうやって基本的なところから話を広げていけるのは，数学の醍醐味のひとつだと思います．

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