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谷口隆

Author:谷口隆
数学を題材に綴るというちょっと変なブログですが,楽しんでいただけたらと思います.いろいろな数学を取り上げ文字に起こすことで,『数学とはどんなものか?』ということを,読者の方と一緒に考えていきたいと思っています.本人は,整数論という数学の一分野を研究しています.1977年生まれ.
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連載コラム『数学者的思考回路』
(裳華房ウェブサイト,共著)

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点と直線との距離の公式(前編)
また期間が空いて失礼しました。訪問してくださっていたみなさま、ありがとうございます。再開したいと思います。


高校で習う数学の公式に、点と直線との距離の公式、というものがあります。


これは、点P(x1,y1)から直線 ℓ : ax+by+c=0 におろした垂線の長さを与えています。


(この垂線の長さを, P と ℓ の距離と言います。)この式について少し考えてみましょう。

●   ●

この公式、ぼんやり記憶にある方もおられるのではないでしょうか。憶えるのが大変な公式もありますが、これは複雑そうで、比較的、苦労せずに憶えられます。案外きれいな式なんですよね。分子から見てみましょう。


直線 ℓ の式にPの座標を代入しています。ちょっと面白いのは、代入した値が問題になっていること。普段は代入するときは、0(ゼロ)になるかならないかだけが問題になります。0になれば ℓ の上に乗っているし、そうでなければ乗っていない。ところがここでは、 ℓ の上になければ0でないのですが、そこで話は終わらず、その値に意味があると言っているわけです。では分母はどうでしょうか。


なんかピタゴラスの定理みたいですね。そう、つまり、たとえば


とおけば、分母はこのベクトルの長さになります。

●   ●

こういう観察と繋がりのある証明はできないものだろうか?そのためには、 ℓ と上のベクトルの関係をはっきりさせないといけません。ベクトルの成分 a,b は、 ℓ の式の、x,y の係数です。だから、


に対し、その係数を取り出して作ったベクトル


とは何か?ということになります。この関係、ご存知でしょうか。

うぅ~む、という方も多いかも知れません。そういうとき、少し簡単な場合から考えるときっかけをつかめるころがあります。c=0にしてしまってはどうでしょうか。この場合なら、


です。どうでしょう。これならなんとかなりそうな気がしませんか?

●   ●

ここまで計算はせず、ただ式を眺めて考えただけでした。ここから先、説明を始める前に、皆さまにも、少し考えていただければと思います。次回はその説明をして、それを使って公式の証明をしたいと思います。

コラム | 04:13:58 | トラックバック(0) | コメント(0)
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